题目传送门: 洛谷 P3369LibreOJ #104BZOJ 3224

我们需要实现一种数据结构,实现以下操作。
1. 插入 $ x $ 数;
2. 删除 $ x $ 数(若有多个相同的数,因只删除一个);
3. 查询 $ x $ 数的排名(若有多个相同的数,因输出最小的排名);
4. 查询排名为 $ x $ 的数;
5. 求 $ x $ 的前趋(前趋定义为小于 $ x $,且最大的数);
6. 求 $ x $ 的后继(后继定义为大于 $ x $,且最小的数)。 继续阅读 »

图的存储与一般有三种形式,邻接矩阵、邻接表、链式前向星(邻接表的一种)。
本文全文使用这个图来进行演示。
图示
我们规定,一共有 $n$ 个点,$m$ 条边。输入数据的格式为 “起点”、“终点”、“边权”。则这个图的输入数据为:

1 2 2
1 4 3
2 3 1
2 5 3
3 1 2
5 3 2
5 4 4

邻接矩阵

由于邻接矩阵空间消耗巨大,一般不使用。
邻接矩阵初始化时,我们使用无穷。
\begin{bmatrix} \infty & \infty & \infty & \infty & \infty \ \infty & \infty & \infty & \infty & \infty \ \infty & \infty & \infty & \infty & \infty \ \infty & \infty & \infty & \infty & \infty \ \infty & \infty & \infty & \infty & \infty \end{bmatrix}
因为对于有些题目,存在瞬移术,可以将某个权重的边跳过,这时可以把它的边权设为 0,这样就和不连通的情况产生了冲突,因此,就不能使用 0 为初值,当然,对于不存在这种情况的题目,仍可使用 0。
对于这个图,其邻接矩阵为:
\begin{bmatrix} 0 & 2 & \infty & 3 & \infty \ \infty & 0 & 1 & \infty & 3 \ 2 & \infty & 0 & \infty & \infty \ \infty & \infty & \infty & 0 & \infty \ \infty & \infty & 2 & 4 & 0 \end{bmatrix}
邻接矩阵的实质,就是用元素的有无来判断两个点是否连通。
因此,邻接矩阵的遍历效率很低,空间开销也很大,而且不能存储重边,可以存储自环(不过好像用处不大)。
建图、存储的时间复杂度为 $\text{O}(n^2)$ (若初始化为 $0$ 则为 $O(m)$ 的时间复杂度),空间复杂度为 $\text{O}(n^2)$。
遍历的时间复杂度为 $\text{O}(n^2)$。
模板如下: 继续阅读 »

扩展欧几里得

int gcd(int const a, int const b) {
    return !b ? a : gcd(b, a % b);
}

int lcm(int const a, int const b) {
    return a / gcd(a, b) * b;
}

int exgcd(int const a, int const b, int &x, int &y) {
    int ans = a;
    if (b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return ans;
    }
    else {
        ans = exgcd(b, a % b, y, x);
        y -= x * (a / b);
        return ans;
    }
}

欧拉筛

bool is_prime[MAXN];
int primes[MAXN], query[MAXM];
int n, m, p;

void sieve(int const n) {
    memset(primes, 0, sizeof(primes));
    memset(is_prime, 1, sizeof(is_prime));
    is_prime[1] = false;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (is_prime[i]) {
            primes[p++] = i;
        }
        for (int j = 0; j < p && i * primes[j] <= n; j++) {
            is_prime[ i * primes[j] ] = false;
            if (! (i % primes[j]) )
                break;
        }
    }
}